$3$\displaystyle{ t{e}^{ - at } }$ のラプラス変換

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ t{e}^{ - at } }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ， $3$\displaystyle{a< 0}$

■証明

ラプラス変換の定義より

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ t{e}^{ - at } }\right}}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} t{e}^{ - at }\cdot {e}^{ - st }dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} t{e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} t{ \left{{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right} }^{\prime }dt }}$

部分積分法を用いる．

$3$\displaystyle{=\left[{ t\left{{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right} }\right]_{0}^{\infty}\displaystyle{}}$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {t}^{\prime }\left{{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right}dt }}$

$3$\displaystyle{=0+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} 1\cdot {e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - \left({ s+a }\right)t }dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\left[{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - \left({ s+a }\right)t } }\right]_{0}^{\infty}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}\left({ 0+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

■別証明

微分則

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ - tf $t$ \} =\frac{\hspace{2} dF $s$ \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}}$ 　ただし， $3$\displaystyle{F\left({s}\right)=L\text{\hspace{1}}\left{{ f\left({t}\right) }\right}}$ 　･･････(1)

を活用する．

$3$\displaystyle{f\left({t}\right)={e}^{ - at }}$ 　･･････(2)

とすると，指数関数のラプラス変換より

$3$\displaystyle{F\left({s}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$ 　･･････(3)

である．

(1)に(2)，(3)を代入する．

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ - t{e}^{ - at } }\right}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

ラプラス変換の線形性より

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ - t{e}^{ - at } }\right}=- L\text{\hspace{1}}\left{{ t{e}^{ - at } }\right}}$ 　･･････(5)

の関係が成り立つ．

(4)と(5)より

$3$\displaystyle{- L\text{\hspace{1}}\left{{ t{e}^{ - at } }\right}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}}\left{{ t{e}^{ - at } }\right}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ s+a }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

となる．

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　最終更新日： 2024年8月24日